# 04 · 层 3：语义相似度 φ + MC 估计器（式 3/4/5）

> 本章目标：吃透 OmniOPD 如何把"要 teacher logits"（层 2 白盒的硬约束）换成"比 teacher 文本"（logit-free），并用 Dirichlet 贝叶斯平滑把稀疏的相似度信号变成稳定、非零的监督乘子 π̂。然后建 `ars_opd/similarity.py`（式3）与 `ars_opd/estimator.py`（式4/5）两个**纯逻辑**模块，本地 CPU 对拍参考实现。
> 行号缩写：`DT:` = `references/ars-opd/trl/trl/experimental/distillation/distillation_trainer.py`，`CFG:` = `.../distillation_config.py`，`VAL:` = `references/ars-opd/validate_chunk_mc_estimator.py`。

## 1. 论文侧：从"要 logits"到"比文本"（§3.2.1-3.2.2）

### 1.1 大局：这一层是 logit-free 的支点

层 2 白盒 OPD（式2）要 teacher 每个位置的完整分布，还要同 tokenizer——我们实测这把方法锁死在同门 teacher。§3.2.1 用一句话拆掉它：**别在 token 概率上匹配，改在文本语义上匹配**。teacher 只需生成文本 rollout；学生某段 chunk 对不对，由"学生这段文本" vs "teacher 那几段 rollout 文本"的语义相似度判定。

这一步同时解三个问题（§3.2.1 首段）：① teacher 逐 token 查询 O(T) 不可行 → chunk 化降到 O(T/C)；② tokenizer 不一致导致学生的精确 token 在 teacher rollout 里根本不出现、产生稀疏零梯度 → 改比语义；③ 由此得到跨架构可用的信号。结构上灵感来自 Speculative Decoding 的验证阶段——把一个 C-token chunk 当作单个"验证单元"。

### 1.2 式(3)：语义相似度聚合 k_sem

学生生成 on-policy 轨迹 y，从中选 M 个长度 C 的 chunk（选法是层 4 的熵调度）。对某个 chunk c，把它之前的前缀 y_<c 喂给 teacher，teacher 生成 N 个 rollout，逐个与学生 chunk 比相似度、求和：

$$k_{\text{sem}}^{(c)} = \sum_{i=1}^{N} \phi\big(y_c,\, y_{\text{teacher}}^{(i)}\big),\qquad \phi:(y_c, y_{\text{teacher}})\mapsto[0,1]$$

| 要点 | 说明 |
|------|------|
| φ 是**连续**相似度 | ROUGE-1 单词重叠 / 编辑距离，∈[0,1]，非 0/1 硬票 |
| k_sem ∈ **[0, N]** 是实数 | N 个 [0,1] 相似度之和；`test_estimator_detach.py` 口语叫"票数"，实质是连续和 |
| 比的是**文本语义**不是 token | 词级重叠对 tokenizer/风格不变——teacher 换词、换词表，只要意思对 φ 就高（§3.2.1 末：不惩罚风格偏差与词表不匹配） |

### 1.3 式(4)：学生先验 π̄（贝叶斯先验）

$$\bar\pi_\theta^{(c)} = \Big(\prod_{t\in c}\pi_\theta(y_t\mid x,y_{<t})\Big)^{1/C} = \exp\!\Big(\tfrac1C\sum_{t\in c}\log\pi_\theta(y_t\mid\cdot)\Big)$$

学生对这段 chunk 每 token 概率的**几何均值** = exp(平均 log 概率)。它是学生**自己**"平均每 token 有多自信"，∈(0,1]，拿来当贝叶斯先验。几何均值（非算术）才是自然的 chunk 级概率：整段联合概率开 C 次方。

### 1.4 式(5)：Dirichlet-Multinomial 贝叶斯平滑 π̂（本层灵魂）

$$\hat\pi_{\text{teacher}}^{(c)} = \frac{k_{\text{sem}}^{(c)} + \alpha\,\bar\pi_\theta^{(c)}}{N + \alpha}
\;\overset{式(10)}{=}\; \underbrace{\tfrac{N}{N+\alpha}}_{}\underbrace{\tfrac{k_{\text{sem}}}{N}}_{\hat\pi_{\text{freq}}\;\text{频率估计}} + \underbrace{\tfrac{\alpha}{N+\alpha}}_{}\underbrace{\bar\pi_\theta}_{\text{学生先验}}$$

π̂ 是"频率估计 k_sem/N"与"学生先验 π̄"的**凸组合**，权重 N 对 α。α = 先验强度（`chunk_alpha`，默认 1.0）。

### 1.5 为什么这样设计：定理 4.1 的三性质 + detach 命门

π̂ 最终进式(8)：$\mathcal{L}_{\text{chunk}} = -\hat\pi^{(c)}\sum_{t\in c}\log\pi_\theta(y_t\mid\cdot)$（层 5 的事，此处只需知道 π̂ 是**乘子**）。定理 4.1 证明这套设计同时关掉两个失败模式：

| 性质 | 内容 | 对照层 2 |
|------|------|---------|
| (a) 不爆炸 | π̂∈[0,1] 是**乘子**，不在分母、不在 log 里；每 chunk 梯度被学生 score function 卡住有界（式11） | 层 2 反向 KL 的 log(π_θ/π_T) 在 π_T→0 时**无界爆炸** |
| (b) 不塌缩 | 先验保证 π̂ ≥ α·π̄/(N+α) **> 0 恒成立**（式12），即便 k_sem=0（teacher 全否定） | 裸频率估计 k_sem/N 在 k_sem=0 时**塌成 0**、梯度死在最该纠正处 |
| (c) 方差收缩 | 贝叶斯 MSE 有闭式（式13），方差比频率估计严格缩小 (N/(N+α))²<1 | —— |

**detach 命门**（`tests/test_estimator_detach.py` 守的，docs/01 §3.4 推导）：π̄ 是学生**自己**的概率。若 π̄ 在式(8) 里不 detach，梯度会经它回传——优化器发现**压低学生对自己 token 的概率**能把乘子 π̂ 推向 0、从而逃避 -π̂·log π_θ 的惩罚（p·ln(1/p)→0，指数快过对数），而且**恰好在 k_sem=0 的 chunk 上塌缩**（那里 π̂=α·π̄/(N+α) 纯由 π̄ 驱动）——最需要学的地方最先崩。detach 把 π̄ 变成常量乘子，损失退化为"按 π̂ 权重强化学生 token"，梯度方向恒为增大 p。这正是 (a)(b) 得以成立的机制根源，也是层 2 §4.1 的姊妹篇：一个证明旧方案为什么炸，一个建新方案为什么稳。

## 2. 参考实现解剖（带行号）

### 2.1 φ 的两个实现——与三处不一致（重构要抹平）

| 度量 | 位置 | 输入表示 | 算法 |
|------|------|---------|------|
| rouge1 | DT:1670 `_compute_rouge1` | **词集合**（`.split()` 去重）于 decode 后**文本** | set 重叠的 F1 = 2PR/(P+R) |
| edit | DT:1682 `_compute_edit_similarity` | **token id 列表**（顺序敏感） | 1 − 归一化 Levenshtein / max(m,n) |

⚠️ 三处不一致（都是重构要统一的）：
1. **rouge1 比文本、edit 比 token id**（DT:1850 vs 1846）。edit 用 token id **重新耦合了 tokenizer**——直接违背 §3.2.1 "跨 tokenizer" 的立身之本；只在 teacher/student 同 tokenizer 的 vLLM 路径侥幸能跑。
2. **rouge1 两种算法**：trainer 用**集合**（DT:1672），validate 脚本用**多重集计数** `min(ref_cnt, hyp_cnt)`（VAL:63）——同名不同义。
3. edit 的归一化用 max(m,n)，标准 ROUGE-1 其实是多重集——参考实现里 rouge/edit/bleu 各行其是（VAL:55-153 有 7 种度量的大杂烩）。

### 2.2 k_sem 聚合（DT:1841-1852）

```
for teacher_chunk in teacher_chunks (N 个):
    sim = edit(student_ids, teacher_ids)  或  rouge1(student_text, teacher_text)
    k_score += sim            # 连续求和 = 式(3) 的 k_sem
```

### 2.3 chunk 级 π̄ / π̂ / detach（DT:2195-2205）——正主

```python
# 式(4) 学生先验：几何均值，detach（命门①，DT:2196）
log_pi_bar = chunk_lps.detach().sum() / chunk_len
pi_bar = log_pi_bar.exp().clamp(min=1e-8, max=1.0)
# 式(5) 贝叶斯目标：再 detach（命门②双保险，DT:2201）
pi_hat = (k + self.chunk_alpha * pi_bar) / (self.chunk_mc_samples + self.chunk_alpha)
pi_hat = pi_hat.clamp(min=1e-8, max=1.0).detach()
chunk_loss = -pi_hat * chunk_lps.mean()          # 式(8) chunk 项
```

两处 detach（2196 的 `chunk_lps.detach()` 与 2201 的 `pi_hat.detach()`）**任一都足以**切断逃逸路（k 是 python float，π̄ detach 后 π̂ 已无梯度）；参考实现两处都留是防御。clamp 的 1e-8 下限防 log0/精确零；上限 1.0 其实自然满足（k≤N、π̄≤1 ⇒ π̂≤1），是防御。**差异标注**：式(8) 论文是 Σlog π_θ，参考用 `.mean()`（除以 chunk 长）——per-token mean，此处是层 5 的事，先记下。

### 2.4 token 级基线（DT:1465）——论文说"不可行"的朴素版，作对照

```python
pi_hat = ((k_counts.float() + alpha * student_probs_at_token.detach()) / (N + alpha)).detach()
mc_loss = -pi_hat * student_log_probs_at_token
```

同一个式(5)，但落在**单 token** 上（C=1）：teacher 每步查询、数学生精确 token 的经验频率。这就是 §3.2.1 开头说的 O(T) 不可行、且 tokenizer 不一致下 k 恒 0 的朴素方案。`test_estimator_detach.py` 现在的 C=1 简化正对应这个基线。我们重构做 **chunk 级**（2.3）。

### 2.5 validate 脚本的对拍策略（VAL，本层验证方式的蓝本）

`validate_chunk_mc_estimator.py` 回答"廉价的文本相似度 π̂ 能否逼近昂贵的真值"：

- **ground truth**（VAL:13,348）：teacher 在**学生 chunk 的 token 上**的几何均值概率 π̄_teacher = exp(mean(log P_teacher))——这需要 teacher logprobs（白盒），是 π̂ 想廉价逼近的对象。
- **估计**（VAL:417-419）：k_continuous = mean(sim)·N；bayes = (k + α·prior)/(N+α)。
- **判据**（VAL:433-437）：对 7 种度量各算 MSE_freq vs MSE_bayes、Spearman 相关；验证**贝叶斯平滑降 MSE**（定理 4.1c）、哪种 φ 最相关。

我们重构的纯逻辑单测照此精神，但用 **toy 数据**（不连真 teacher）：手构 k_sem/π̄ 断言 π̂ 公式与性质，再用 toy 模拟验证"MSE_bayes < MSE_freq"与"k=0 时 π̂>0"。

### 2.6 配置默认（CFG）

| 参数 | 符号 | 默认 | 论文 |
|------|------|------|------|
| `chunk_mc_samples` | N | 10（CFG:277） | 10（§4.2 甜点） |
| `chunk_alpha` | α | 1.0（CFG:281） | 1.0 |
| `chunk_length` | C | 50（CFG:273 附近） | 50 |
| `chunk_similarity` | φ | **rouge1**（CFG:299） | **edit_distance**（§5.1）——⚠️ 背离，须显式指定 |
| `no_bayesian` | — | False（CFG:315） | 消融：直接用 k/N（频率），验证塌缩 |

## 3. 保留 / 替代 / 删除

| 决策 | 项目 |
|------|------|
| **保留** | 式(4) 几何均值先验 + detach（命门）；式(5) 贝叶斯凸组合；连续 φ 求和成 k_sem；clamp 下限防零；no_bayesian 消融（留作层 6 消融开关） |
| **替代** | φ 统一到**词级文本**（`.split()`）——edit 也比 words，不再比 token id（抹平 2.1 坑①，回归 tokenizer 无关）；rouge1 集合/多重集二选一并注明；默认 φ 显式设 edit_distance（对齐论文 §5.1，不用 code 的 rouge1 默认） |
| **删除** | token 级基线路径（DT:1465，朴素不可行版）；validate 里 bleu/jaccard/exact_match 等多余度量（只留 rouge1 + edit）；vLLM/API 采样（那是层 5 teacher.py 的事，层 3 纯逻辑只吃已算好的 k_sem 与 log 概率） |

## 4. 重构任务（Claude 写码、你精读提问）

| # | 任务 | 落点 | 备注 |
|---|------|------|------|
| E1 | `rouge1(hyp, ref)` + `edit_similarity(hyp, ref)` + `phi(hyp, ref, metric)` + `aggregate_similarity(student_chunk, teacher_rollouts, metric)` | `ars_opd/similarity.py`（纯逻辑，只依赖标准库） | 两度量都吃 str、内部 `.split()` 比 words；φ 默认 edit_distance；k_sem = Σφ（式3） |
| E2 | `chunk_prior(log_probs)`（式4 几何均值，**detach**）+ `bayesian_target(k_sem, pi_bar, n, alpha)`（式5） | `ars_opd/estimator.py`（纯逻辑，只依赖 torch） | detach 在 `chunk_prior` 内；`bayesian_target` 再 detach 防御；clamp 下限 |
| E3 | 把 `test_estimator_detach.py` 接到**真实现** | `tests/test_estimator_detach.py` | 现为独立 C=1 数学测试；追加对 `chunk_prior`/`bayesian_target` 的同名断言，锁死 detach 不被误删 |

**接口预想**（E1/E2 公共函数，全类型注解）：

```
# similarity.py（纯 str/list，可脱离 torch 测）
rouge1(hypothesis: str, reference: str) -> float          # 词集合 F1 ∈[0,1]
edit_similarity(hypothesis: str, reference: str) -> float  # 1 − 归一化 Levenshtein ∈[0,1]
phi(hypothesis: str, reference: str, metric: str = "edit_distance") -> float
aggregate_similarity(student_chunk: str, teacher_rollouts: list[str], metric: str) -> float  # 式(3) k_sem

# estimator.py（torch，toy 张量可测）
chunk_prior(log_probs: torch.Tensor) -> torch.Tensor       # 式(4) π̄，detach，(C,)->标量
bayesian_target(k_sem: float, pi_bar: torch.Tensor, n_rollouts: int, alpha: float) -> torch.Tensor  # 式(5) π̂
```

## 5. 验证方式

1. **similarity.py 单测**：手构字符串断言 φ 值（如全同 chunk→edit=1、rouge1=1；不相交→0；部分重叠手算）；k_sem = Σφ 的连续性；空串边界。
2. **estimator.py 单测（对拍参考精神）**：
   - **公式对拍**：手构 log_probs/k_sem，断言 π̄=exp(mean log p)、π̂=(k+απ̄)/(N+α) 与手算一致；凸组合式(10) 恒等。
   - **性质对拍**：π̂ ∈(0,1] 恒；**k=0 时 π̂ = α·π̄/(N+α) > 0**（定理 4.1b 反塌缩，= detach 测试的正面）；
   - **方差收缩（toy 模拟）**：固定真值 μ、采样 N 个 [0,1] 相似度多次，断言 π̂ 的 MSE < 频率估计 k/N 的 MSE（定理 4.1c）。
   - **detach 命门**：对真 `chunk_prior`/`bayesian_target` 复刻 `test_estimator_detach.py` 的两个世界断言（detach→k=0 仍增大 p；不 detach→k=0 且 p<1/e 时逃逸）。
3. 关账判据：similarity/estimator 全单测本地 CPU 通过；`test_estimator_detach.py` 已接真实现；接口回看完成（两模块判"深"）。